這種能自動改變旋轉方向的魔法石據說是考古學家研究史前石器時發現的,它被稱為 celt stone,意思是古印地安人石塊。原本它是拿來做為工具使用,偶然間發現其具有逆轉現象,這算得上是大自然的神奇傑作。
另外,貝殼底部也呈現橢圓球且重心偏離幾何中心,因此它也能拿來玩這個遊戲
甚至電話的話筒也行
科學原理:魔法石
魔法石的典型外型是一個橢圓球體被z=0 的平面切為兩半,其底部的曲面符合方程式 的半個橢球體。
在其切面橢圓的長軸接近端點附近,如上圖貼上一小塊配重,使其轉動慣量主軸的方向偏離橢圓的幾何對稱軸,此一圖像稱為魔法石典型體。若在此典型體的橢圓的長軸端輕經壓它一下然後鬆手,它就會沿長軸的方向(繞短軸)晃動起來,並且很快地把這種晃動轉變為順時針方向的轉動。若撥動一端讓它以逆時針方式轉動,它便會把轉動變為沿長軸的方向(繞短軸)的劇烈晃動,最後再逆轉成為順時針方向。為什麼會出現這種現象呢?原因是它的重心偏離了對稱中心,以及轉動慣量的主軸偏離了幾何對稱軸,至於逆轉的機制則是與它接觸的底面存在著滑動摩擦力所造成。
生活中有很多物體都可以製作魔法石,譬如湯匙、髮夾、電話筒、貝殼等。以湯匙為例,找一根底部為橢圓球面的湯匙。如下圖,先將湯匙柄的一端彎向曲面,然後再將湯匙柄往旁邊側推(譬如順時針方向推開)。這樣做就能使系統的重心造成偏移而不落在橢圓面的長軸上。
試著以順時針與逆時針的方向分別轉動湯匙,找出以哪種方向撥動時,可以形成湯匙能逆轉回來的現象。至於會發生沿長軸的方向搖晃的原因,可以依動力學之 網球拍理論(Tennis Racket Theorem)加以說明。如下圖,剛體旋轉時,如果繞著 X軸、Y 軸、Z 軸的轉動慣量分別為 I1、I2、I3 (I1<I2<I3),因為轉動慣量居中的 I2 之 Y 軸,剛體是無法穩定繞此軸旋轉而會造成晃動。
因此,對於我們所做的湯匙而言,轉動慣量居中的 I2 之 Y軸,即為下圖中之虛線。因此湯匙轉動一段時間後,湯匙就會繞此軸而上下晃動。若依能量觀點而言,此振動動能來自湯匙的轉動動能,就如同耦合的雙擺(double pendulum),彼此會發生能量轉移的現象一般。
由於湯匙的仰俯晃動會造成接觸面的滑動現象,因此系統會受到地面施予湯匙的滑動摩擦力。如下圖,由於湯匙的重心偏離了橢圓面的長軸,因此湯匙在滑向重心的方向時,此時動摩擦力並不平行於長軸,而有平行與垂直於長軸的兩個分力。其中平行長軸的分力減緩了振動的幅度,而垂直長軸的分力則對質心造成了力矩,就是該力矩讓湯匙會形成逆轉現象的成因。
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